Dízimas periódicas e as séries geométricas
Neste texto, iremos demonstrar, de forma intuitiva, a relação entre a conversão de dízimas periódicas e as séries númericas geométricas, isto é, progressões geométricas.
Dízimas periódicas
Temos, na matemática, alguns exemplos de frações cuja representação decimal não é exata. Quando estes números decimais possuem repetições periódicas infinitas de um ou mais algarismos, são chamados de numerais decimais periódicos ou dizimas periódicas. Veja alguns exemplos:
| Exemplos | |
|---|---|
| 1 | $\dfrac{1}{3}=0,333...=0,\overline{3}.$ |
| 2 | $\dfrac{5}{6}=0,833...=0,8\overline{3}.$ |
| 3 | $\dfrac{2}{3}=0,666...=0,\overline{6}.$ |
A parte que se repete da dizima é chamada de período. A parte que se encontra após a vírgula mas não se repete é chamada de parte não periódica. Por último, mas não menos importante, a fração que gera uma dízima periódica é chamada de geratriz da dízima periódica. No caso dos exemplos citados, em (1) a geratriz é $\frac{1}{3}$, em (2) é $\frac{5}{6}$ e em (3) é $\frac{2}{3}$.
Podemos classificar as dízimas periódicas em simples e composta. A dízima periódica simples, é aquela em que não há parte não periódica. Já a dízima periódica composta é aquela em que existe a parte não periódica.
Encontrando a geratriz
Temos dois casos diferentes a se tratar, as dízimas simples e as compostas. No primeiro, as dizimas simples, a geratriz é uma fração, onde o numerador é o período e o denominador é o algarismo 9 repetido a quantidade de algarismos do périodo. Veja alguns exemplos:
| Exemplos | |
|---|---|
| 1 | $0,3232...=0,\overline{32}$, o período é 32, que possui dois algarismos, então a fração geratriz terá como numerador o número 32 e como denominador o número 99, o algarismo 9 repetido 2 vezes. Temos, então:
$0,3232...=0,\overline{32}=\dfrac{32}{99}$. |
| 2 | $0,444...=0,\overline{4}$, o período é 4, que possui apenas um algarismo, então a fração geratriz terá como numerador o período, 4, e como denominador o número 9, o algarismo 9 repetido 1 única vez. Observe então:
$0,444...=0,\overline{4}=\dfrac{4}{9}$. |
Falamos, até o momento, somente sobre as dízimas cuja parte inteira é igual a 0, ou seja, números que começam com $0,$. Nos casos onde a parte inteira é diferente de zero podemos dividir o número em dois, observe:
| Exemplos | |
|---|---|
| 1 | $\begin{align*} 1,444... & = 1,\overline{4}\\&= 1+0,\overline{4}\\&= 1+\dfrac{4}{9}\\&= \dfrac{9+4}{9}\\&= \dfrac{13}{9} \end{align*}$ |
O segundo caso, as dízimas compostas, é um pouco mais complexo. A fração geratriz vai ter como numerador, a parte não periódica seguida do período menos a parte não periódica. Já o denominador será uma sequência de noves (a quantidade de algarismos do período) seguidos de uma sequência de zeros (a quantidade de algarismos da parte não periódica). Parece um pouco complicado, não é mesmo? Podemos, então, utilizar alguns exemplos para esclarecer isso.
| Exemplos | |
|---|---|
| 1 | $0,5101010...=0,5\overline{10}$. A parte não periódica é 5 e o período é 10 e como o numerador é a parte não periódica seguida do período menos a parte não periódica, o numerador pode ser escrito como $510-5=505$. Como o período, 10, possui dois algarismos, e a parte não periódica, 5, possui apenas um algarismo, o denominador deve ser escrito como 990. Nossa fração então será escrita como: $0,5\overline{10}=\dfrac{505}{990}$. |
| 2 | $0,65222...=0,65\overline{2}$. Utilizando a mesma ideia do exemplo (1), temos que o período é 2 e a parte não periódica é 65. O numerador será $652-65=587$, enquanto o denominador será 900, pois o período, 2, possui um único algarismo e a parte não períodica, 65, possui dois algarismos. Nossa fração então, será: $0,65\overline{2}=\dfrac{587}{900}$ |
Para encontrar as frações geratrizes de dízimas compostas que possuem uma parte inteira devemos utilizar a mesma ideia da dízima simples, separando a parte inteira da dízima. Veja:
| Exemplos | |
|---|---|
| 1 | $\begin{align*} 4,65222... & = 4,65\overline{2}\\&= 4+0,65\overline{2}\\&= 4+\dfrac{587}{900}\\&= \dfrac{900 \cdot 4 + 587}{900}\\&= \dfrac{3600 + 587}{900}\\&= \dfrac{4187}{900} \end{align*}$ |
O método para encontrar a fração geratriz funciona mas e a matemática? por qual razão este método funciona? Para explicar isso, e mostrar a utilidade de algumas ideias de cálculo, precisamos de alguns conceitos, um pouco mais avançados, antes.
Séries numéricas
A notação sigma para somas
Utilizaremos a ideia de série geométrica que é, na verdade, uma ideia de progressão geométrica, e para facilitar, precisamos entender a notação sigma para somas.
Existem casos em que a soma que precisamos escrever possuem muitos termos, ou que não sabemos, exatamente, quantos termos existem na soma. Por exemplo, imagine que precisamos somar 100 números inteiros consecutivos, começando pelo número 1, então teriamos que escrever $1+2+3+4+5+6+ \cdots +100$. Observe que é um trabalho árduo até mesmo para ser digitado utilizando um computador e, por isso, não o fizemos deixando os três pontinhos entre o 6 e o 100.
Para facilitar este processo existe uma notação, chamada aqui de notação sigma, que nos permite simplificar a escrita da soma dos 100 números do parágrafo anterior. $1+2+3+4+5+6+...+100 = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{100} i$. Observe que o índice $i$ vai variar de 1 até 100, e então pegamos o termo geral que está na frente da letra grega sigma, daí o nome da notação, e substituimos em cada termo e somamos com o próximo. Veja alguns outros exemplos para esclarecer sobre a notação.
| Exemplos | |
|---|---|
| 1 | $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{5} 2^i = 2^1+2^2+2^3+2^4+2^5.$ |
| 2 | $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{5} \dfrac{i}{2} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{2}+\dfrac{5}{2}.$ |
| 3 | $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} 2^i = 2^1+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^n.$ |
Note que no exemplo (3) não sabemos exatamente quantos termos temos na soma, então deixamos indicados com o n, mostrando que pode ser qualquer número inteiro maior que 1, pois a soma começa com o índie 1.
Transformando dízimas periódicas em somas
Precisamos, agora, transformar a dízima em uma soma. Vejamos a dízima $0,444...=0,\overline{4}$, já mostrada anteriormente. Observe que $\dfrac{4}{10}=0,4$, $\dfrac{4}{100}=0,04$ e assim por diante. Podemos escrever a dízima $0,444...$ como uma soma da forma:
Mas e quanto aos termos, quantos termos temos nesta soma? A resposta é simples. Temos infinitos termos, pois uma dízima periódica não repete os mesmos números de forma infinita? Podemos chamar a soma $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{4}{10}\cdot\frac{1}{10^{i-1}}$ de $S_n$ e reescrever a dízima como:
Podemos, agora, denominar $a=4$ e $r=1/10$ e teremos a seguinte soma: $S_n = a \cdot r + a \cdot r^2 + a \cdot r^3 + \cdots + a \cdot r^n$, que é uma série, ou progressão, geométrica. No quadro abaixo, iremos mostrar como encontrar o valor da soma dos $n$ primeiros termos da soma, e também pode ser escrita utilizando: $S_n=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} a\cdot r^{i-1}$.
| Exemplos | |
|---|---|
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Para encontrar o valor de $S_n$ podemos trabalhar da seguinte forma: (1) - $S_n = 1 + a + a\cdot r+a\cdot r^2+\cdots+a\cdot r^{n-1}$ Multiplicando ambos os lados de (1) por $r$, obtemos a equação (2): (2) - $r\cdot S_n = r + a\cdot r+a\cdot r^2+a\cdot r^3+\cdots+a\cdot r^n$ |
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