Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo: Uma dedução
Introdução
No estudo das relações trigonométricas no triângulo retângulo vemos, quase sempre, as relações sendo definidas, sem justificativa matemática alguma. Este texto tem por objetivo relacionar as definições de seno, cosseno e tangente, no circulo trigonométrico, com as relações trigonométricas no triângulo retângulo.
Omitiremos, neste texto, algumas definições, como a definição de arco e ângulo, além da definição de algumas figuras geométricas importantes para este estudo.
Circulo Trigonométrico
Definimos o circulo trigonométrico como um circulo unitário, isto é, um circulo cujo raio é igual a uma unidade e que possui centro na origem, $O=(0,0)$, do sistema de coordenadas. Este circulo é de grande importância para definirmos as relações trigonométricas. A partir deste circulo trigonométrico podemos considerar o ponto $A=(1,0)$, e qualquer outro ponto, $B$, sobre a circunferência formando, então, um arco. Este arco possui um ângulo, aqui denominado de $\alpha$. Definiremos, aqui, apenas as funções seno, cosseno e tangente.
Considere o ponto $B$, já citado, e então faça uma projeção deste ponto sobre o eixo vertical do nosso sistema de coordenadas. Iremos obter, desta forma, o ponto $C$. A medida do segmento $OC$ é definida como sendo o seno do ângulo $\alpha$. Fazendo o mesmo processo, projetando o ponto sobre o eixo horizontal do sistema, obteremos o ponto $D$, de forma que a medida do segmento $OD$ é definida como sendo o cosseno do ângulo $\alpha$.
Para a definição de tangente, considere uma reta perpendicular ao eixo horizontal que passa pelo ponto $A=(1,0)$. Esta reta será chamada de eixo da tangente. Consideremos, agora, o segmento $OB$, que é um raio da circunferência. Prolongaremos, então, este segmento até que o mesmo encontre com o eixo da tangente em um ponto $E$. A medida do segmento $AE$ é definida como a tangente do ângulo $\alpha$.
Na Imagem temos um desenho do circulo trigonométrico com um ângulo $\alpha$, qualquer, e suas respectivas relações, seno, cosseno e tangente, denotadas por $sen(\alpha)$, $cos(\alpha)$ e $tg(\alpha)$, respectivamente. Na figura, os segmentos estão destacados de azul, verde e laranja, respectivamente.
Alguns Conceitos da Geometria
Um ângulo reto é definido como um ângulo cuja medida é igual a $90\degree$. O triângulo retângulo é, por sua vez, definido como sendo um triângulo que possui um de seus ângulos retos. Note que, a partir da Imagem , podemos obter dois triângulos retângulos, no circulo trigonométrico, que serão, para o nosso estudo, de grande importância. O primeiro destes triângulos é o $OAB$, retângulo em $A$, enquanto que o segundo é o triângulo $ODE$, retângulo em $D$, semelhante ao primeiro triângulo.
Necessitamos, para a dedução das relações trigonométricas no triângulo retângulo, definirmos e apresentarmos alguns resultados importantes, da geometria euclidiana.
Dois triângulos são semelhantes se for possível estabelecer uma correspondência um a um entre seus vértices de modo que os ângulos correspondentes sejam iguais e lados correspondentes sejam proporcionais.
Observe, na imagem, que podemos girar e aumentar o triângulo $ABC$, de forma que ele sobreponha o triângulo $EFG$. Na figura, as linhas tracejadas representam a correspondência, um a um, dos vértices dos dois triângulos.
Dados dois triângulos $ABC$ e $EFG$, se $\widehat{A}=\widehat{E}$ e $\widehat{B}=\widehat{F}$, então os triângulos são semelhantes.
Para que este texto não se torne muito extenso, a demonstração deste teorema será, aqui, omitida e assim que publicada em outro texto referenciada aqui.
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Voltando a trabalhar com a Imagem , podemos pegar o triângulo $OAB$, retângulo em $A$ e definir, também, um ponto $C$, no mesmo local de $O$, chamando o triângulo, agora, de $ABC$. Ignoraremos, a partir de aqui, o circulo trigonométrico e olharemos apenas para o triângulo $ABC$.
Observe que, por definição, dois triângulos são semelhantes se podemos estabelecer uma correspondência um a um entre seus vértices de forma que os ângulos correspondentes sejam iguais e os lados correspondentes sejam proporcionais, isto é, tenham a mesma razão. Podemos, então, multiplicar todas as medidas do triângulo $ABC$, da Imagem , por uma constante $n$ formando um novo triângulo, semelhante ao primeiro.
A partir do triângulo $ABC$, da Imagem , podemos dar novos nomes a seus lados. O lado oposto ao vértice $A$ será chamado de a, então $a=n$. O lado oposto ao vértice $B$ será chamado de $b$, então $b=n\cdot cos(\alpha)$. O lado oposto ao vértice $C$ será chamado de $c$, então $c=n\cdot sen(\alpha)$.
Destas definições, temos que $c=n\cdot sen(\alpha)$, e como definimos $a=n$, podemos substituir, encontrando a relação $c=a\cdot sen(\alpha)$, donde temos que $sen(\alpha)=\dfrac{c}{a}$, isto é, o seno do ângulo $\alpha$ é igual ao cateto oposto ao ângulo, $c$, dividido pela hipotenusa, $a$. De forma análoga, $b=n\cdot cos(\alpha)$ e, então, $b=a\cdot cos(\alpha)$, donde podemos concluir que $cos(\alpha)=\dfrac{b}{a}$, isto é, o cosseno do ângulo $\alpha$ é igual ao cateto oposto ao ângulo adjacente ao ângulo, $b$, dividido pela hipotenusa, $\alpha$.
Podemos, também, deduzir a relação da tangente de um ângulo. Considere, novamente, o circulo trigonométrico da Imagem e tome, agora, o triângulo $ODE$, que possui, agora, um ponto $C$, na mesma localização do ponto $O$, se tornando $CDE$.
Note que, na Imagem , o triângulo $CDE$ é semelhante ao triângulo $ABC$ pois possui, pelo menos, dois ângulos correspondentes iguais. O setor circular, de laranja, na figura, tem por objetivo, apenas, justificar a medida do segmento $CE$.
Podemos, então, tomar uma constante $k$, que é a proporção de $ABC$ para $CDE$, e escrever que $n\cdot tg(\alpha)=k\cdot c$, substituindo o valor, já conhecido, de $c$, temos que $n=k\cdot n\cdot \text{cos}(\alpha)$, donde obtemos que $k\cdot \text{cos}(\alpha)=1$ e, por final, que $k=\dfrac{1}{\text{cos}(\alpha)}$. Daí, sabendo que $c=n\cdot sen(\alpha)$, podemos verificar que:
Note que encontramos uma das principais relações trigonométricas que nos diz que a tangente de um ângulo é a razão do seno do mesmo ângulo pelo cosseno. Já encontramos o seno e o cosseno deste ângulo, substituindo, então, seus valores, iremos obter a relação da tangente.
Daí concluímos que a tangente do ângulo é igual a divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente ao ângulo.
Considerações Finais
É importante ressaltar que foi utilizada, aqui, uma forma para a dedução destas relações trigonométricas no triângulo retângulo e existem, porém, diversas outras formas de se realizar estas deduções, sendo que algumas delas podem, talvez, simplificarem este processo. Cabe ao nosso leitor, instigado, procurar por estas outras formas.
Omitimos, neste texto, algumas definições, que provavelmente o leitor já conheça, e, também, uma demonstração, para que este texto não se tornasse demasiado extenso e sua leitura extremamente carregada. Assim que publicarmos uma demonstração para o teorema, da geometria euclidiana, iremos o referenciar, aqui.
Referências
- IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar, Volume 3: Trigonometria, 2. ed. São Paulo: Atual Editora, 1977.
- BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana, Coleção do Professor de Matemática. SBM: 1995.
